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题目

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思路

和01背包思路差不多,01背包是只能选一个,完全背包是可以选无数个直到占满背包。
所以要把每个物品都枚举k次,直到超出背包重量。

在01背包上改动一些即可(超时)

#include <iostream>
#include <vector>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int n, m, res = 0;
    vector<vector<int>> dp = vector<vector<int>>(1010, vector<int>(1010, 0));
    vector<int> v = vector<int>(1010, 0);
    vector<int> w = vector<int>(1010, 0);
    cin>>n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin>>v[i] >>w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= m; j++)
        {
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}

优化

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2v]+2w , f[i-1,j-3v]+3w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2v] + w , f[i-1,j-2v]+2*w , .....)
由上两式,可得出如下递推关系:
fi=max(f[i,j-v]+w , fi-1)

有了这个递推上面的k次循环就可以写成这个递推
然后双循环:

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = 0; j <= m; j++)
    {
        dp[i][j] = dp[i][j - 1];
        if (j >= v[i])
        {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], f[i, j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
}

这个代码和01背包非常相似
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); 01背包

f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);完全背包

然后参考01背包的优化,完全背包也可以优化:

for(int i = 1 ; i <= n ;i++)
{
    for(int j = v[i] ; j <= m ;j++)
    {
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    }
}

这里可以看到完全背包的遍历是正着遍历的,因为这里的递推不是由i - 1递推上来的,所以可以正着遍历

完整代码:

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    int n, m;
    vector<int> dp = vector<int>(1010, 0);
    vector<int> v = vector<int>(1010, 0);
    vector<int> w = vector<int>(1010, 0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

思路参考:
作者:Aniway
链接:https://www.acwing.com/solution/content/5345/
来源:AcWing
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